UP Board Class 10 Maths Important Questions 2027: 70 अंक संपूर्ण तैयारी, महत्वपूर्ण प्रमेय, फॉर्मूला शीट व 20 OMR हल प्रश्न

उत्तर प्रदेश माध्यमिक शिक्षा परिषद (UPMSP प्रयागराज) द्वारा आयोजित होने वाली कक्षा 10वीं हाईस्कूल बोर्ड परीक्षा 2027 में गणित (Mathematics) एक ऐसा विषय है, जो विद्यार्थियों के संपूर्ण प्रतिशत और राज्य स्तरीय मेरिट को निर्णायक रूप से निर्धारित करता है। गणित विषय की सबसे बड़ी विशेषता यह है कि यदि आपके मूलभूत सिद्धांत स्पष्ट हैं और गणना शुद्ध है, तो इसमें भाषा विषयों की भांति अंक कटने की कोई गुंजाइश नहीं होती और छात्र 70 में से 70 अंक हासिल कर सकते हैं। इसके विपरीत, सही रणनीति और महत्वपूर्ण अध्यायों के सटीक अभ्यास के अभाव में यही विषय छात्रों के लिए सबसे बड़ी चुनौती बन जाता है।

नए राष्ट्रीय शिक्षा नीति (NEP) आधारित बोर्ड परीक्षा पैटर्न के अनुसार, 70 अंकों के सैद्धांतिक प्रश्नपत्र को दो स्पष्ट भागों में बांटा गया है: खंड ‘अ’ में 20 वस्तुनिष्ठ प्रश्न शामिल होते हैं, जिनका उत्तर विद्यार्थियों को OMR शीट पर भरना होता है, जबकि खंड ‘ब’ में 50 अंकों के अति-लघु, लघु और दीर्घ उत्तरीय वर्णनात्मक प्रश्न पूछे जाते हैं। शिक्षातक (sikshatak.com) के इस विशेष विस्तृत अध्ययन मार्गदर्शिका में यूपी बोर्ड परीक्षा के विगत 10 वर्षों के हल प्रश्नपत्रों, टॉपर्स की कॉपियों और परिषद के आधिकारिक मॉडल पेपर का गहन विश्लेषण करके सभी 7 इकाइयों के सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न, बोर्ड के 5 अनिवार्य सिद्ध करने वाले प्रमेय, अध्यायवार संपूर्ण फॉर्मूला शीट और 20 मॉडल OMR प्रश्नों का व्याख्या सहित संकलन प्रस्तुत किया गया है।

📊 1. यूपी बोर्ड 10वीं गणित परीक्षा 2027: नया स्वरूप एवं अंक विभाजन

यूपी बोर्ड हाईस्कूल गणित का संपूर्ण प्रश्नपत्र कुल 100 अंकों का होता है:

• 30 अंक आंतरिक मूल्यांकन: यह विद्यालय स्तर पर प्रोजेक्ट कार्य और मासिक परीक्षाओं के आधार पर दिए जाते हैं।
• 70 अंक लिखित सैद्धांतिक परीक्षा: परिषद द्वारा निर्धारित परीक्षा केंद्रों पर 3 घंटे 15 मिनट की लिखित परीक्षा आयोजित होती है।

📌 3-कॉलम हाइलाइट्स: यूपी बोर्ड कक्षा 10वीं गणित परीक्षा ब्लूप्रिंट 2027

लिखित परीक्षा के दो मुख्य खंड:

1. खंड ‘अ’ (Section A – 20 अंक): प्रश्न संख्या 1 से 20 तक बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) होते हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का होता है। इन 20 प्रश्नों के उत्तर केवल काले या नीले बॉलपॉइंट पेन से OMR शीट पर गोला भरकर देने होते हैं। इस खंड में किसी भी प्रकार की निगेटिव मार्किंग नहीं होती।
2. खंड ‘ब’ (Section B – 50 अंक): यह वर्णनात्मक (Descriptive) खंड होता है, जिसके उत्तर मुख्य उत्तरपुस्तिका में स्टेप-बाय-स्टेप हल करके लिखने होते हैं:
   1. प्रश्न संख्या 1 (अति-लघु उत्तरीय): कुल 5 उप-प्रश्न (प्रत्येक 2 अंक = 10 अंक)।
   2. प्रश्न संख्या 2 (लघु उत्तरीय): कुल 5 उप-प्रश्न (प्रत्येक 4 अंक = 20 अंक)।
   3. प्रश्न संख्या 3, 4 एवं 5 (दीर्घ उत्तरीय): प्रत्येक प्रश्न में आंतरिक विकल्प (अथवा/Or) होता है (प्रत्येक 6 अंक = 3 × 6 = 18 अंक)।

🎯 2. यूपी बोर्ड 10वीं गणित के 5 अनिवार्य सिद्ध करने वाले प्रमेय (Must-Prepare Theorems)

बोर्ड परीक्षा में कम से कम 12 से 16 अंक केवल प्रमेयों की उपपत्ति (Proof) और उन पर आधारित अनुप्रयोगात्मक प्रश्नों से पूछे जाते हैं। निम्नलिखित 5 प्रमेयों को प्रत्येक परीक्षार्थी को अपनी कॉपी में लिखकर कम से कम 3 बार अवश्य अभ्यास कर लेना चाहिए:

प्रमेय 1: अपरिमेय संख्या सिद्ध करने का प्रश्न (इकाई 1 — 3 अंक अनिवार्य)

• महत्वपूर्ण प्रश्न: “सिद्ध कीजिए कि √5 (अथवा √3, 2+√3, 3+2√5) एक अपरिमेय संख्या है।”
• उपपत्ति का मुख्य चरण (विरोधाभास विधि – Proof by Contradiction):
  • 1. हम इसके विपरीत मान लेते हैं कि √5 एक परिमेय संख्या है।
  • 2. अतः, √5 = p/q, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक (Co-prime integers) हैं तथा q ≠ 0 है।
  • 3. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 5 = p²/q² ⟹ p² = 5q² (समीकरण 1)।
  • 4. इसका अर्थ है कि 5, p² को विभाजित करता है; इसलिए प्रमेय अनुसार 5, p को भी विभाजित करेगा।
  • 5. अतः हम p = 5k (जहाँ k कोई पूर्णांक है) रख सकते हैं। समीकरण 1 में मान रखने पर: (5k)² = 5q² ⟹ 25k² = 5q² ⟹ q² = 5k²。
  • 6. इसका अर्थ है कि 5, q² को भी विभाजित करता है, अतः 5, q को भी विभाजित करेगा।
  • 7. इस प्रकार 5, p और q दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common factor) है, जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि p और q सह-अभाज्य हैं।
  • 8. यह विरोधाभास हमारी गलत परिकल्पना के कारण उत्पन्न हुआ है। अतः सिद्ध होता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

प्रमेय 2: थेल्स प्रमेय / आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (इकाई 4 — 6 अंक का दीर्घ प्रश्न)

• कथन: “यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएं एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।”
• चित्र व उपपत्ति के मुख्य चरण:
  • 1. त्रिभुज ABC में, भुजा BC के समांतर खींची गई रेखा DE, AB को D पर तथा AC को E पर काटती है। सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC।
  • 2. रचना: B को E से तथा C को D से मिलाया, और DM ⊥ AC तथा EN ⊥ AB खींचा।
  • 3. क्षेत्रफल अनुपात सूत्र: ar(△ADE) = ½ × AD × EN तथा ar(△BDE) = ½ × DB × EN।
  • 4. अतः ar(△ADE)/ar(△BDE) = AD/DB (समीकरण 1)।
  • 5. इसी प्रकार ar(△ADE)/ar(△CDE) = AE/EC (समीकरण 2)।
  • 6. चूंकि △BDE और △CDE एक ही आधार DE तथा एक ही समांतर रेखाओं DE और BC के बीच बने त्रिभुज हैं, इसलिए ar(△BDE) = ar(△CDE)।
  • 7. अतः समीकरण 1 और 2 से: AD/DB = AE/EC। (इति सिद्धम्)

प्रमेय 3: वृत्त की स्पर्श रेखाओं की समानता का प्रमेय (इकाई 4 — 4 अंक)

• कथन: “किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां बराबर होती हैं।”
• उपपत्ति: केंद्र O वाले वृत्त के बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएं PQ और PR हैं। समकोण त्रिभुज △OQP और △ORP में OQ = OR (वृत्त की त्रिज्याएं), OP = OP (उभयनिष्ठ कर्ण) तथा ∠OQP = ∠ORP = 90° (स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या लंब होती है)। अतः RHS सर्वांगसमता कसौटी से △OQP ≅ △ORP, जिससे सिद्ध होता है कि PQ = PR। (इति सिद्धम्)

प्रमेय 4: त्रिकोणमितीय ऊंचाई एवं दूरी का मॉडल प्रश्न (इकाई 5 — 6 अंक)

• मॉडल प्रश्न: “एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार की ऊंचाई 50 मीटर हो, तो भवन की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।”
• हल: समकोण त्रिभुज △ABD में tan 60° = 50/x ⟹ √3 = 50/x ⟹ x = 50/√3 मीटर। अब समकोण त्रिभुज △BCD में tan 30° = h/x ⟹ 1/√3 = h / (50/√3) ⟹ h = 50/3 = 16.67 मीटर। अतः भवन की ऊंचाई 16.67 मीटर है।

प्रमेय 5: सांख्यिकी का अज्ञात बारंबारता प्रश्न (इकाई 7 — 6 अंक)

• महत्वपूर्ण सूत्र: बहुलक (Mode) = l + [(f₁ – f₀) / (2f₁ – f₀ – f₂)] × h
• माध्यिका (Median) = l + [(n/2 – cf) / f] × h
• बोर्ड परीक्षा में अज्ञात बारंबारता (p अथवा x, y) ज्ञात करने वाले प्रश्न 6 अंक में प्रतिवर्ष पूछे जाते हैं।

📐 3. अध्याय-वार संपूर्ण फॉर्मूला शीट (Chapter-wise Quick Formula Bank)

परीक्षा कक्ष में जाने से पूर्व निम्नलिखित सूत्रों को कंठस्थ रखना अनिवार्य है:

इकाई 2: बीजगणित (Algebra Formulas)

• द्विघात समीकरण: मानक रूप ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• द्विघाती सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र): x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a
• विविक्तकर (Discriminant): D = b² – 4ac
  • यदि D > 0 तथा पूर्ण वर्ग है: मूल वास्तविक, भिन्न और परिमेय होंगे।
  • यदि D > 0 तथा पूर्ण वर्ग नहीं है: मूल वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय होंगे।
  • यदि D = 0: मूल वास्तविक एवं समान (x = -b/2a) होंगे।
  • यदि D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं होगा (काल्पनिक मूल)।
• समांतर श्रेढ़ी (A.P.):
  • n-वां पद: aₙ = a + (n – 1)d
  • प्रथम n पदों का योग: Sₙ = n/2 [2a + (n – 1)d] अथवा Sₙ = n/2 (a + l)

इकाई 3: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

1. दूरी सूत्र (Distance Formula): d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
2. मूल बिंदु (0,0) से दूरी: √(x² + y²)
3. विभाजन सूत्र (Section Formula): आंतरिक विभाजन बिंदु (x, y) = [(m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)]
4. मध्य-बिंदु के निर्देशांक: [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]

इकाई 5: त्रिकोणमिति (Trigonometry)

• मूल संबंध: sinθ = लंब/कर्ण, cosθ = आधार/कर्ण, tanθ = लंब/आधार
• सर्वसमिकाएं:
  • sin²θ + cos²θ = 1 ⟹ sin²θ = 1 – cos²θ
  • 1 + tan²θ = sec²θ ⟹ sec²θ – tan²θ = 1
  • 1 + cot²θ = cosec²θ ⟹ cosec²θ – cot²θ = 1
• विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय मान तालिका:
  • sin 0° = 0, sin 30° = ½, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1
  • cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = 1/√2, cos 60° = ½, cos 90° = 0
  • tan 0° = 0, tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 90° = ∞ (अपरिभाषित)

इकाई 6: मेन्सुरेशन (Mensuration)

• त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Sector Area): (θ/360°) × πr²
• चाप की लंबाई (Arc Length): (θ/360°) × 2πr
• लंबवृत्तीय बेलन: वक्रपृष्ठ = 2πrh, कुल पृष्ठ = 2πr(r + h), आयतन = πr²h
• लंबवृत्तीय शंकु: तिर्यक ऊंचाई l = √(r² + h²), वक्रपृष्ठ = πrl, कुल पृष्ठ = πr(l + r), आयतन = ⅓πr²h
• गोला एवं अर्धगोला: गोले का पृष्ठ = 4πr², आयतन = ⁴⁄₃πr³; अर्धगोले का कुल पृष्ठ = 3πr², आयतन = ⅔πr³

🏆 4. 20 अंक OMR शीट वस्तुनिष्ठ प्रश्न (20 High-Yield Practice MCQs)

प्रश्न 1. यदि दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए HCF(a, b) = 12 और a × b = 2160 है, तो उनका LCM(a, b) क्या होगा?

(A) 120

(B) 180

(C) 240

(D) 360

👉 उत्तर: (B) 180

*विस्तृत व्याख्या:* हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके ल.स. और म.स. के गुणनफल के बराबर होता है: a × b = HCF × LCM ⟹ 2160 = 12 × LCM ⟹ LCM = 2160/12 = 180।

प्रश्न 2. द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 का विविक्तकर (Discriminant) क्या होगा और इसके मूलों की प्रकृति कैसी होगी?

(A) D = -8, मूल वास्तविक नहीं (काल्पनिक) हैं

(B) D = 8, मूल वास्तविक व भिन्न हैं

(C) D = 0, मूल वास्तविक व बराबर हैं

(D) D = -16, कोई मूल नहीं

👉 उत्तर: (A) D = -8, मूल वास्तविक नहीं (काल्पनिक) हैं

*विस्तृत व्याख्या:* यहाँ a = 2, b = -4, c = 3। विविक्तकर सूत्र D = b² – 4ac = (-4)² – 4(2)(3) = 16 – 24 = -8। चूंकि D < 0 (ऋणात्मक) है, अतः समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 3. समांतर श्रेढ़ी -5, -5/2, 0, 5/2, … का 11वां पद (a₁₁) क्या होगा?

(A) -20

(B) 20

(C) -30

(D) 30

👉 उत्तर: (B) 20

*विस्तृत व्याख्या:* यहाँ प्रथम पद a = -5 और सार्वंतर d = -⁵⁄₂ – (-5) = -⁵⁄₂ + 5 = ⁵⁄₂। 11वां पद a₁₁ = a + (11 – 1)d = -5 + 10(⁵⁄₂) = -5 + 25 = 20।

प्रश्न 4. बिंदुओं A(-2, 6) और B(-6, 10) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक क्या होंगे?

(A) (-4, 8)

(B) (4, -8)

(C) (-8, 16)

(D) (-3, 5)

👉 उत्तर: (A) (-4, 8)

*विस्तृत व्याख्या:* मध्य-बिंदु सूत्र [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2] = [(-2 + (-6))/2, (6 + 10)/2] = [-8/2, 16/2] = (-4, 8)।

प्रश्न 5. बिंदु P(-6, 8) की मूल बिंदु (0,0) से दूरी कितनी होगी?

(A) 8 मात्रक

(B) 2√7 मात्रक

(C) 10 मात्रक

(D) 14 मात्रक

👉 उत्तर: (C) 10 मात्रक

*विस्तृत व्याख्या:* मूल बिंदु से दूरी सूत्र √(x² + y²) = √[(-6)² + (8)²] = √(36 + 64) = √100 = 10 मात्रक।

प्रश्न 6. यदि △ABC ~ △DEF है तथा AB/DE = ⅓ है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ar(△ABC)/ar(△DEF) क्या होगा?

(A) 1 : 3

(B) 1 : 9

(C) 1 : 6

(D) 9 : 1

👉 उत्तर: (B) 1 : 9

*विस्तृत व्याख्या:* दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है: ar(△ABC)/ar(△DEF) = (AB/DE)² = (⅓)² = ⅑ यानी 1 : 9।

प्रश्न 7. यदि tanθ = ⁴⁄₃ है, तो sinθ · cosθ का मान क्या होगा?

(A) ¹²⁄₂₅

(B) ⁷⁄₂₅

(C) ⁵⁄₁₂

(D) ¹⁶⁄₉

👉 उत्तर: (A) ¹²⁄₂₅

*विस्तृत व्याख्या:* tanθ = लंब/आधार = ⁴⁄₃। पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण = √(4² + 3²) = 5। अतः sinθ = ⁴⁄₅ और cosθ = ³⁄₅। इसलिए sinθ · cosθ = ⁴⁄₅ × ³⁄₅ = ¹²⁄₂₅।

प्रश्न 8. व्यंजक (2tan 30°)/(1 + tan² 30°) का मान निम्नलिखित में से किसके बराबर है?

(A) sin 60°

(B) cos 60°

(C) tan 60°

(D) sin 30°

👉 उत्तर: (A) sin 60°

*विस्तृत व्याख्या:* tan 30° = 1/√3 मान रखने पर: [2(1/√3)] / [1 + (1/√3)²] = (2/√3) / (1 + ⅓) = (2/√3) / (⁴⁄₃) = (2/√3) × (¾) = √3/2। हम जानते हैं कि sin 60° = √3/2 होता है।

प्रश्न 9. यदि एक वृत्त का परिमाप (परिधि) और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या (r) क्या होगी?

(A) 2 मात्रक

(B) π मात्रक

(C) 4 मात्रक

(D) 7 मात्रक

👉 उत्तर: (A) 2 मात्रक

*विस्तृत व्याख्या:* प्रश्न अनुसार परिधि = क्षेत्रफल ⟹ 2πr = πr² ⟹ 2 = r ⟹ r = 2 मात्रक।

प्रश्न 10. एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है, यदि उसकी त्रिज्या r हो?

(A) 2πr²

(B) 3πr²

(C) 4πr²

(D) ⅔πr³

👉 उत्तर: (B) 3πr²

*विस्तृत व्याख्या:* अर्धगोले का वक्रपृष्ठ 2πr² होता है तथा इसके समतल वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल πr² होता है। अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²।

प्रश्न 11. केंद्रीय प्रवृत्ति की तीन मापों (माध्य, माध्यिका, बहुलक) के बीच सही आनुभविक संबंध क्या है?

(A) बहुलक = 3 माध्यिका – 2 माध्य

(B) माध्यिका = 3 बहुलक – 2 माध्य

(C) बहुलक = 2 माध्यिका – 3 माध्य

(D) माध्य = 3 माध्यिका – 2 बहुलक

👉 उत्तर: (A) बहुलक = 3 माध्यिका – 2 माध्य

*विस्तृत व्याख्या:* कार्ल पियर्सन का आनुभविक सूत्र है: Mode = 3Median – 2Mean। बोर्ड परीक्षा में यदि किसी बंटन का माध्य और माध्यिका दी गई हो, तो इस सूत्र से बहुलक निकाला जाता है।

प्रश्न 12. एक पासे को एक बार फेंकने पर एक अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी?

(A) ⅙

(B) ⅓

(C) ½

(D) ⅔

👉 उत्तर: (C) ½

*विस्तृत व्याख्या:* पासे पर कुल परिणाम {1, 2, 3, 4, 5, 6} कुल 6 हैं। अभाज्य संख्याएं {2, 3, 5} कुल 3 हैं (नोट: 1 न तो भाज्य है और न ही अभाज्य)। अतः प्रायिकता P = ⅜ = ½।

प्रश्न 13. एक निश्चित घटना (Sure Event) की प्रायिकता का मान कितना होता है?

(A) 0

(B) 1

(C) 0.5

(D) अनिश्चित

👉 उत्तर: (B) 1

*विस्तृत व्याख्या:* किसी असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है, जबकि किसी निश्चित घटना की प्रायिकता सदैव 1 होती है।

प्रश्न 14. किसी मीनार की छाया की लंबाई उसकी ऊंचाई के बराबर है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण कितना होगा?

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

👉 उत्तर: (B) 45°

*विस्तृत व्याख्या:* यदि ऊंचाई h और छाया की लंबाई x बराबर हों (h = x), तो tanθ = h/x = 1 ⟹ θ = 45°।

प्रश्न 15. रैखिक समीकरण युग्म x + 2y – 4 = 0 और 2x + 4y – 12 = 0 का ग्राफीय निरूपण किस प्रकार की रेखाएं होंगी?

(A) प्रतिच्छेदी रेखाएं (अद्वितीय हल)

(B) समांतर रेखाएं (कोई हल नहीं)

(C) संपाती रेखाएं (अपरिमित अनेक हल)

(D) लंबवत रेखाएं

👉 उत्तर: (B) समांतर रेखाएं (कोई हल नहीं)

*विस्तृत व्याख्या:* यहाँ a₁/a₂ = ½, b₁/b₂ = ²⁄₄ = ½, तथा c₁/c₂ = -⁴⁄₋₁₂ = ⅓। चूंकि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ की स्थिति है, अतः रेखाएं समांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा।

प्रश्न 16. बहुपद p(x) = x² – 3 के शून्यक क्या होंगे?

(A) 3, -3

(B) √3, -√3

(C) 9, -9

(D) √3, 3

👉 उत्तर: (B) √3, -√3

*विस्तृत व्याख्या:* शून्यक हेतु x² – 3 = 0 ⟹ x² = 3 ⟹ x = ±√3। अतः शून्यक √3 और -√3 हैं।

प्रश्न 17. यदि त्रिज्या r वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का कोण 60° है, तो उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या होगा?

(A) ⅙πr²

(B) ¼πr²

(C) ⅓πr²

(D) ½πr²

👉 उत्तर: (A) ⅙πr²

*विस्तृत व्याख्या:* त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr² = (60°/360°) × πr² = ⅙πr²।

प्रश्न 18. संख्या 144 के अभाज्य गुणनखंडन में 2 की घात कितनी होगी?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 6

👉 उत्तर: (C) 4

*विस्तृत व्याख्या:* 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3²। अतः 2 की घात 4 है।

प्रश्न 19. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि गेंद लाल नहीं हो?

(A) ⅜

(B) ⅝

(C) ½

(D) ⅛

👉 उत्तर: (B) ⅝

*विस्तृत व्याख्या:* कुल गेंदें = 3 + 5 = 8। गेंद ‘लाल नहीं’ होने का अर्थ है कि गेंद ‘काली’ होनी चाहिए। काली गेंदों की संख्या 5 है। अतः अभीष्ट प्रायिकता P = ⅝।

प्रश्न 20. यदि किसी बारंबारता बंटन का माध्य 27 और बहुलक 45 है, तो उसकी माध्यिका क्या होगी?

(A) 30

(B) 33

(C) 36

(D) 40

👉 उत्तर: (B) 33

*विस्तृत व्याख्या:* आनुभविक सूत्र बहुलक = 3 माध्यिका – 2 माध्य ⟹ 45 = 3(माध्यिका) – 2(27) ⟹ 45 = 3(माध्यिका) – 54 ⟹ 3(माध्यिका) = 45 + 54 = 99 ⟹ माध्यिका = ⁹⁹⁄₃ = 33।

📚 5. यूपी बोर्ड 10वीं गणित तैयारी हेतु सर्वश्रेष्ठ पुस्तकें व क्वेश्चन बैंक (Recommended Books)

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🔗 6. संबंधित महत्वपूर्ण बोर्ड परीक्षा गाइड्स (Internal Links)

यूपी बोर्ड परीक्षा की व्यापक तैयारी और आधिकारिक नियमों की जानकारी हेतु हमारे अन्य प्रामाणिक संदर्भ अवश्य पढ़ें:

3. UP Board Exam Centre List 2027: 10वीं 12वीं परीक्षा केंद्र निर्धारण नियम व 75 जिलों की सूची – परीक्षा केंद्र निर्धारण एवं स्व-केंद्र नीति की संपूर्ण जानकारी
4. OMR Full Form in Hindi: ओएमआर का फुल फॉर्म क्या है, 5 जरूरी नियम – 20 वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में व्हाइटनर व दो गोले भरने की गलतियों से बचाव
5. UP Board Time Table 2027: 10वीं 12वीं परीक्षा कार्यक्रम व प्रैक्टिकल डेट शीट – हाईस्कूल व इंटरमीडिएट बोर्ड परीक्षा समय-सारणी
6. UP Scholarship 2026-27: ऑनलाइन आवेदन, स्टेटस चेक व PFMS पेमेंट – कक्षा 9वीं व 10वीं प्री-मैट्रिक छात्रवृत्ति दिशा-निर्देश

❓ 7. अक्सर पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न (FAQ Desk)

प्रश्न 1: क्या यूपी बोर्ड 10वीं गणित की परीक्षा में स्टेप मार्किंग (Step Marking) होती है?

उत्तर: हाँ, बिल्कुल। यूपी बोर्ड की उत्तरपुस्तिका मूल्यांकन नीति के अनुसार गणित के वर्णनात्मक खंड में प्रत्येक सही चरण (Step) के लिए निर्धारित अंक दिए जाते हैं। यदि अंतिम उत्तर गणना त्रुटि के कारण गलत भी हो जाए, तब भी प्रयुक्त सूत्र, चित्र और प्रारंभिक चरणों के अंक पूरे मिलते हैं। इसलिए किसी भी प्रश्न को अधूरा छोड़ने के बजाय जितना आता हो, उतना हल अवश्य करें।

प्रश्न 2: गणित के पेपर में रफ कार्य (Rough Work) कहाँ और कैसे करना चाहिए?

उत्तर: बोर्ड परीक्षा की मुख्य उत्तरपुस्तिका के बाएं पृष्ठ (Left Page) पर शीर्ष पर ‘रफ कार्य’ लिखकर गणना करें। कार्य पूर्ण होने के पश्चात उस रफ पृष्ठ पर एक तिरछी रेखा खींचकर काट दें। कभी भी OMR शीट अथवा प्रश्नपत्र पर रफ कार्य न करें。

प्रश्न 3: क्या गणित के पेपर में सभी 20 OMR प्रश्नों को हल करना अनिवार्य है?

उत्तर: हाँ। चूंकि यूपी बोर्ड हाईस्कूल परीक्षा में कोई निगेटिव मार्किंग नहीं होती, इसलिए परीक्षार्थियों को सभी 20 वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के उत्तर OMR शीट पर नीले या काले बॉलपॉइंट पेन से पूरे गोले को भरकर अवश्य देने चाहिए।

प्रश्न 4: गणित में 70 में से 70 अंक लाने के लिए किन 3 इकाइयों पर सबसे ज्यादा ध्यान देना चाहिए?

उत्तर: इकाई 2 (बीजगणित – 18 अंक), इकाई 5 (त्रिकोणमिति – 12 अंक) और इकाई 4 (ज्यामिति – 10 अंक)। केवल इन तीन इकाइयों से ही कुल 40 अंकों के प्रश्न पूछे जाते हैं।

प्रश्न 5: क्या परीक्षा में प्रमेयों का चित्र (Diagram) पेंसिल से बनाना जरूरी है?

उत्तर: ज्यामिति और ऊंचाई-दूरी के प्रश्नों में चित्र हमेशा पेंसिल, पटरी (Scale) और परकार (Compass) की सहायता से साफ-सुथरा और नामांकित बनाना चाहिए। स्पष्ट चित्र पर परीक्षक तुरंत सकारात्मक अंक प्रदान करते हैं।

📌 संपादकीय परामर्श एवं प्रामाणिक संदर्भ (Editorial Disclaimer):

शिक्षातक (sikshatak.com) की संपादकीय टीम द्वारा इस शैक्षणिक आलेख को तैयार करते समय उत्तर प्रदेश माध्यमिक शिक्षा परिषद (UPMSP प्रयागराज) के नवीनतम 70-अंक पाठ्यक्रम, NCERT कक्षा 10 गणित पाठ्यपुस्तक एवं विगत 10 वर्षों के आधिकारिक बोर्ड प्रश्नपत्रों के आधार पर पूर्णतः सटीक एवं त्रुटिरहित रखने की पूरी सावधानी बरती गई है। तथापि, किसी भी नीतिगत बदलाव या अंक विभाजन में संशोधन की स्थिति में विद्यार्थियों को सलाह दी जाती है कि वे अपने संबंधित विद्यालय के गणित प्रवक्ता अथवा UPMSP के आधिकारिक पोर्टल (upmsp.edu.in) से विवरण का मिलान अवश्य कर लें। किसी भी गणितीय प्रमेय या सवाल में संशय होने पर छात्र नीचे कमेंट बॉक्स में अपना प्रश्न पूछ सकते हैं। शिक्षातक आपके 100% बोर्ड परीक्षा परिणाम की कामना करता है।